Простые и составные числа, свойства простых чисел. IV

Простые и составные числа. Примеры. Определение. Следствия.

Вве-де-ние

Любое число можно пред-ста-вить в виде про-из-ве-де-ния еди-ни-цы на само это число.

На-при-мер,

В общем виде

Вывод: вся-кое число де-лит-ся на само себя и на еди-ни-цу.

Рас-смот-рим таб-ли-цу

В за-ви-си-мо-сти от ко-ли-че-ства де-ли-те-лей среди на-ту-раль-ных чисел вы-де-ля-ют про-стые и со-став-ные.

Опре-де-ле-ния:

Число, ко-то-рое имеет толь-ко два раз-лич-ных де-ли-те-ля - еди-ни-цу и само это число - на-зы-ва-ют про-стым.

Число, ко-то-рое имеет более двух де-ли-те-лей, на-зы-ва-ют со-став-ным.

Число 1 имеет един-ствен-ный де-ли-тель. По-это-му еди-ни-цу не от-но-сят ни к со-став-ным, ни к про-стым чис-лам.

След-ствие 1

Все на-ту-раль-ные числа можно раз-бить на 3 груп-пы:

1. Число 1. Оно имеет един-ствен-ный де-ли-тель.
2. Про-стые числа. Они имеют в точ-но-сти два де-ли-те-ля.
3. Со-став-ные числа. У этих чисел более двух де-ли-те-лей.

Чтобы узнать, про-стым или со-став-ным яв-ля-ет-ся число, можно вос-поль-зо-вать-ся таб-ли-ца-ми.

Таб-ли-ца про-стых чисел от 2 до 997 при-ве-де-на на фор-за-це учеб-ни-ка. Пер-вые де-сять про-стых чисел - это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. По-лез-но вы-учить их на-и-зусть.

След-ствие 2

Разбор примера. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 676 являются составными.

До-ка-жи-те, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми.

Разбор примера. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

Может ли про-из-ве-де-ние двух про-стых чисел быть про-стым чис-лом?

Разбор примера. Найдите два составных числа m, которые удовлетворяют неравенству 56

Най-ди-те два со-став-ных числа m, ко-то-рые удо-вле-тво-ря-ют нера-вен-ству .

Разбор примера. Верно ли, что все четные числа являются составными?

Верно ли, что все чет-ные числа яв-ля-ют-ся со-став-ны-ми?

Ответ: невер-но. При-ме-ром слу-жит число 2.

Разбор примера. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?

Может ли пло-щадь квад-ра-та вы-ра-жать-ся про-стым чис-лом, если длина его сто-ро-ны вы-ра-жа-ет-ся на-ту-раль-ным чис-лом?

Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной a.

Учитель математики МАОУ СОШ №71 г. Краснодара Степанченко Е.М.

Урок по теме « Простые и составные числа» 6-класс

Цели:

Ввести понятие простых и составных чисел;

Научить отличать простые числа от составных чисел, основываясь на определении этих чисел;

Научить работать с таблицей простых чисел;

Способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету;

Научить сравнивать различные объекты: выделять из множества один или несколько объектов, имеющих общие свойства;

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

Пифагор провозгласил, что числа правят миром, и поэтому он придумывал, как с помощью чисел изображать такие понятия, как совершенство и дружба. А вам интересно, что у него получилось? Тогда начинаем.

II .Подготовка к работе на основном этапе

Сейчас я расскажу вам сказочную историю из жизни чисел.

Однажды встретились трое друзей: число 24, единица и число 5. Пятерочка поинтересовалась у своих друзей, как дела? Число 24 рассказало, что 24сентября был День его рождения. На праздник были приглашены в гости все делители числа 24.

Кто пришел к нему в гости? Обучающиеся отвечают (1, 2, 3, 4, 6, 8,12).

Пятерочка расстроилась, ведь на ее День рождения 5 сентября кроме единицы и самой пятерочки никого не было.

Почему? Попробуйте объяснить. Ребята говорят, что у числа 5 только два делителя 1 и само число 5.

А единица похвасталась, что ее пригашают все.

Ребята, а почему единицу приглашают в качестве делителя все числа? Ребята отвечают, что любое число делится на 1.

Число 24 спросило единицу, а к тебе кто приходил на праздник. И тут расстроилась единица.

Ребята, почему расстроилась единица? Ребята отвечают, что у единицы только один делитель, само число 1.

Ой, какие мы разные, сказали друзья. Ребята, в чем отличие между этими числами?

Ученики отвечают, что число24 имеет 8 делителей. У числа 5 всего 2 делителя, а у числа 1 только один делитель.

III . Подготовка к работе на основном этапе

А сейчас выполним следующее задание. На каждой парте лежит лист с заданием. Нужно заполнить таблицу, работаете парами. Кто первый закончит, тот поднимает сигнальную карточку.

Делители числа

Количество делителей

1,2,3,5,6,10,15,30

1,2,3,4,6,9,12,18,36

Вопрос, на какие группы можно разделить данные числа? Почему?

Ответ: на три группы:

1-я группа – числа, которые имеют только два делителя. Такие числа называют простыми.

2-я группа – числа, которые имеют более двух делителей. Такие числа называют составными.

3-я группа – число 1, у него только один делитель. Число1 не является ни простым ни составным.

Давайте вместе закончим заполнение таблицы. В последнем столбце запишите название данных чисел. Проверяем. Один ученик читает название чисел.

7,17,19 – простые числа; 10,30,36 – составные числа. Проверяем по слайду.

Попробуйте самостоятельно сформулировать определения простых и составных чисел.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух делителей.

Назовите несколько составных чисел. Ребята называют. Для подтверждения, что число составное нужно назвать хотя бы один дополнительный делитель (кроме 1 и самого этого числа).

Назовите несколько простых чисел. Ребята называют.

А число 419 простое или составное? Попробуйте применить признаки делимости. Повторить признаки делимости на2, на3, на 5, на9, на 10. К сожалению это нам не помогло. Как быть. Наш урок может затянуться, пока мы будем проверять все возможные делители. Я вам подскажу. Откройте форзац учебника, перед вами таблица простых чисел (до 997). Ребята находят число 419 в таблице. Эта таблица будет вашей помощницей.

Рассмотрите внимательно таблицу и ответьте на мои вопросы.

назовите наименьшее простое число (2)

что вы еще можете сказать про число 2 (оно четное)

есть ли среди простых чисел еще четные числа? (нет, 2 единственное четное простое число)

назовите наименьшее двузначное простое число (11), а наибольшее (97)

сколько однозначных простых чисел? (4 числа), а двузначных (21), а трехзначных (143)

что вы можете сказать о числах 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61 и т.д. (они выделены красным цветом. Почему? (31-29= 2, 43-41=2,61-59=2) такие числа называют близнецами.

Назовите пары близнецы среди трехзначных чисел (например 521 и 523)

IV . Историческая справка

Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев занимался изучением свойств простых чисел. Он доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа,

Проверим этот факт с помощью нашей таблицы. Ребята называют число, затем удваивают его и проверяют по таблице, есть ли между этими числами простое число.

V . Практическая деятельность учащихся

У доски работает ученик. Дидактический материал А.С.Чесноков, К.И.Нешков Дидактические материалы по математике стр59 №15, №16, №17

Все вместе проверяем. Ученик, выполнявший задания комментирует.

48: 1, 2 , 3 , 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

67< Z < 73; Z =68; Z =69

№16

13; 17

Второй ученик по учебнику стр.17 №95

2968 составное т.к. оно делится на 2 (имеет больше двух делителей).

3600 составное т.к. оно делится на 2 , на 3 на 5 (имеет больше двух делителей).

888888 составное т.к. оно делится на 2, на 4, на 8, на 11 (имеет больше двух делителей).

676767 составное т.к. оно делится на 67 (имеет больше двух делителей).

Третий ученик №96

а) нет, т.к. произведение двух чисел будет делиться на каждый множитель.3*5=15; 15:3=5;15:5=3 (больше двух делителей)

То есть составное число можно разложить на простые множители. Примеры: 10=2*5; 14=2*7; 30=2*3*5; 77=7*11; 65=5*13; 70=2*5*7;

IV . Открытие новых знаний

Следующее задание: запишите в тетради число 6, это число простое или составное? (составное)

Найдите все делители этого числа, а теперь сложите их все, кроме самого числа 6. Что получилось? (1+2+3=6) Удивительно, не правда ли. Число 6 совершенное число. Может быть, поэтому шестое место считалось самым почетным у древних римлян.

Число 6 первое совершенное число.

Составьте алгоритм нахождения совершенного числа. Запишите ваш алгоритм на листе, который лежит у вас на парте. Работаем в парах. Ребята записывают алгоритм. Зачитывают несколько вариантов. Ученики корректируют. Совместными усилиями составили алгоритм:

найти все делители числа

сложить все делители, отличающиеся от этого числа

если результат сложения будет равен самому числу, то это число совершенное

А теперь, предлагаю вам найти следующее совершенное число. Продолжаем работать в парах.

Ребята находят следующее совершенное число 28 (1+2+4+7+14=28). Луна совершает оборот вокруг Земли за 28 дней.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число – 496 , четвертое 8128, пятое 33 550 336 и т.д.

V . Рефлексия

Сегодня на уроке мы узнали много нового. А подведем итоги нашей работы мы необычным способом. Составим синквейн. Синквейн – это творческая работа, которая имеет короткую форму стихотворения, состоящего из пяти нерифмованных строк.

Синквейн – это не простое стихотворение оно должно быть написано по следующим правилам:

1 строка – одно существительное, выражающее главную тему синквейна.

2 строка – два прилагательных, выражающих главную мысль.

3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы.

4 строка – фраза, несущая определенный смысл.

5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

Ребята предлагают варианты, все вместе составляем синквейн.

Числа

Простые, составные

Находить, делить, раскладывать

Правят миром

Знание

VI. Домашнее задание

Стр.19-20 №115, 116, 117, 118. Творческое задание: Узнать, какие числа называют дружественными, подготовить сообщение в виде сказки или детективного расследования.

а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а . Действительно, а:1 = а, а:а = 1.

Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два натуральных делителя : единицу и само это число.

Для комфорта была сформирована таблица простых чисел . Число два - минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число.

Простых чисел бесчисленное множество . Максимального простого числа не бывает.

У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

Например: 10=2 .5;

80 = 2 . 2 . 2 . 2 . 5;

81= 3 . 3 . 3 . 3;

200 = 2 .2 .2 .5 .5.

Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью .

Например :

18 = 2 . 3 2 ; 80 = 2 4 . 5; 81 = 3 4 ; 200 = 2 3 - 5 2 .

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

1) 2940 поделится на 2, 2940: 2 = 1470 ;

2) 1470 поделится на 2, 1470: 2 = 735 ;

3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735: 3 = 245 ;

4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245: 5 = 49 ;

5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49: 7 = 7 ;

6) 7 поделится на 7, 7: 7 = 1 .

Таким образом , 2940 = 2 . 1470 = 2 . 2 . 735 = 2 . 2 . 3 . 245 = = 2 . 2 . 3 . 5 . 49 = 2 . 2 . 3 . 5 . 7 . 7 = 2 2 . 3 . 5 . 7 2 .

Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урок: формирование понятий простых и составных чисел.

Задачи урока:

• познакомить учащихся с понятием простых и составных чисел;
• расширить знания о натуральных числах;
• развивать умение слушать;
• воспитывать познавательную активность, интерес к предмету;

Методические приемы: беседа, рассказ, демонстрация, работа с учебником, упражнения, обучающий контроль.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма работы: фронтальная, самостоятельная.

Оборудование урока:

• техническое обеспечение: (персональный компьютер, демонстрационный экран, мультимедийный проектор);
• программное обеспечение: (Microsoft Power Point, Word, программы сканирования и обработки изображений);
• карточки с заданиями.

Литература:

• учебник “Математика 6 класс”, автор Н. Виленкин;
• энциклопедический словарь юного математика;
• тесты по математике 6;
• с математикой в путь, автор Н. Лэнгдон.

План урока.

1. Организация начала урока.
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Первичное осмысление и закрепление нового материала.
5. Подведение итогов.
6. Информация о домашнем задании.

Ход урока

1. Организация начала урока.

Здравствуйте ребята, садитесь.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

На прошлом уроке у вас было домашнее задание повторить материал прошлых уроков, который нам сегодня пригодится для изучения новой темы.

Устный опрос.

1. Какое число называют делителем данного натурального числа? (Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.)
2. Какое число является делителем любого натурального числа? (Единица.)
3. Из предложенного списка назвать все делители числа 16. (1; 4; 2; 16; 8) Слайд №1
4. Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 10. Почему? (100, 570 – оканчиваются цифрой 0) Слайд №2
5. Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 5. Почему? (100, 570, 5, 25, 3735 - оканчиваются цифрой 0 или 5) Слайд №3
6. Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 2. Почему? (100, 14, 128, 570, 296 - оканчиваются четными цифрами) Слайд №4
7. Из предложенного списка назвать все числа, которые делятся на 3. Почему? (111, 3735 – сумма цифр числа делится на 3) Слайд №5
8. Задание выполнено с ошибкой. Найди их. (327 не делится на 2, 142 не делится на 10, 9296 не делится на 5, 648 не делится на 5, 859 не делится на 10) Слайд №6

3. Изучение нового материала. Слайд №7

Назвать все делители чисел. Что можно сказать о количестве делителей этих чисел? (Есть числа, которые имеют только два делителя и числа, которые имеют более двух делителей)

Итак, ребята, сегодня на уроке мы узнаем как называются такие числа. Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока “Простые и составные числа”. Слайд №8

Натуральное число может быть либо простым, если оно имеет два делителя или составным, если оно имеет более двух делителей. Единица – ни простое, ни составное число.

Задание: Записать в тетради три простых числа и три составных.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.

Задание: Выполнить письменно №94. Слайд №9

Представлена таблица простых чисел. По таблице видно, что число 2 наименьшее простое четное число, остальные простые числа нечетные. Таблица простых чисел находится на форзаце вашего учебника.

Задание: Выполнить устно №89.

Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами.

Найдите по таблице числа-близнецы. (Например: 17 и 19).

В настоящее время составление таблиц простых чисел можно “поручить” компьютерам, с их помощью уже получены огромные простые числа, которые “вручную”, наверное, никогда бы не были найдены. Однако компьютеры, даже и мощные, тоже имеют ограниченные возможности. И возникает такой естественный вопрос: можно ли построить, хотя бы в далеком будущем, такой мощный компьютер, чтобы он нашел, наконец, все простые числа? Оказывается, что ответ на этот вопрос уже есть и найден…больше двух тысяч лет назад. Слайд №8

Великий математик Древней Греции Евклид доказал, что полный список составить просто невозможно. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа. Так две с лишним тысяч лет назад Евклид лишил математиков надежды получить полный список простых чисел. Слайд №9

Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени – Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2 т. е. 4, 6, 8 и т.д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3), далее через четыре числа идущие после 5 и так далее. В конце концов оставались не вычеркнутыми только простые числа. Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена.

4. Первичное осмысление и закрепление нового материала.

(Каждому ученику раздаются карточки с заданием.)

Вариант 1

Два делителя.

1. Составное - 4; 1, 3, 9, 27.
2. Составное - 713 285; 984; 12 327.
3. Простое - 13; 73.
   100 263; 715; 1 712; 34; 80 121.

Вариант 2

Более двух делителей.

1. Простое - 2; 1, 19.
2. Составное - 300 099; 9 082 184; 912 327.
3. Простое - 17; 71.
   7 775; 8 654; 81; 63; 80 127.

5. Подведение итогов. Слайд №10

Ребята, что сегодня на уроке мы узнали? (Мы узнали, что натуральные числа бывают простыми, составными)

Единица - какое число? (Ни простое, ни составное)

6. Информация о домашнем задании Слайд №11

(П. 4, ответить устно на вопросы стр. 17, письменно №111; №112.)

«Простые и составные числа» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В данном разделе Вы узнаете, какие числа называют простыми, а какие составными, научитесь быстро определять какое перед Вами число.
Повторим: все натуральные числа больше 1 можно поделить на две части: простые и составные. Простое число – это натуральное число, у которого есть только два делителя, оно делится на единицу и на самого себя (11, 9, 5). Наименьшее простое число – это ужас отличника — число 2.
Составные числа имеют больше двух делителей (6 делится на 6, на 1, на 2, на 3).
Число 1 делится только на 1, оно никакое — ни простое, ни составное.
Как быстро узнать, что двухзначное или трехзначное число является простым или составным? Нужно найти еще хотя бы один делитель, кроме 1 и его самого. Для этого используем уже выученные признаки деления. Какое число 368? Оно делится на 2, значит, имеет больше двух делителей (делится на 1, на 368 и на 2).
Иногда встречается такое число, по которому тяжело сразу же сказать какое оно. Тогда, на помощь придет таблица простых чисел. Смотрим, есть ли в таблице 121? Нет, значит, это число составное. Но какие у него делители? Число 121 делиться на 121, 1, а еще на число 11. Давайте проверим 11*11=121. Еще такие же числа 169 (13*13=169), 289 (17*17=289), 361 (19*19). Попробуйте для начала запомнить их.