Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что значит разложить число на простые множители?
Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2 · 7 · 7 · 23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2 , 7 , 7 , 23 .
Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30 , тогда получим 2 , 3 , 5 . Запись примет вид 30 = 2 · 3 · 5 . Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 .
Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.
При z , относящемуся к целым числам, представляется в виде произведения а и b , где z делится на а и на b . Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1 , то его разложение на множители p 1 , p 2 , … , p n принимает вид a = p 1 , p 2 , … , p n . Разложение предполагается в единственном варианте.
Каноническое разложение числа на простые множители
При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p 1 , который встречается s 1 раз и так далее p n – s n раз. Таким образом разложение примет вид a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.
При разложении числа 609840 получим, что 609 840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11 ,его канонический вид будет 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2 . При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.
Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p 1 , p 2 , … , p n чисел a , a 1 , a 2 , … , a n - 1 , это дает возможность получить a = p 1 · a 1 , где a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , где a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , где a n = a n - 1: p n . При получении a n = 1 , то равенство a = p 1 · p 2 · … · p n получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n .
Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z . При взятии простых чисел 2 , 3 , 5 , 11 и так далее, причем на них делим число z . Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z . Видно, что не существуют делителей z , тогда понятно, что z является простым числом.
Пример 1
Рассмотрим на примере числа 87 . При его делении на 2 имеем, что 87: 2 = 43 с остатком равным 1 . Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87: 3 = 29 . Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .
При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a . При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000 .
Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:
- нахождение наименьшего множителя при делителе p 1 числа a по формуле a 1 = a: p 1 , когда a 1 = 1 , тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1 , тогда a = p 1 · a 1 и следуем к пункту, находящемуся ниже;
- нахождение простого делителя p 2 числа a 1 при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a 2 = a 1: p 2 , когда a 2 = 1 , тогда разложение примет вид a = p 1 · p 2 , когда a 2 = 1 , тогда a = p 1 · p 2 · a 2 , причем производим переход к следующему шагу;
- перебор простых чисел и нахождение простого делителя p 3 числа a 2 по формуле a 3 = a 2: p 3 , когда a 3 = 1 , тогда получим, что a = p 1 · p 2 · p 3 , когда не равняется 1 , тогда a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 и производим переход к следующему шагу;
- производится нахождение простого делителя p n числа a n - 1 при помощи перебора простых чисел с p n - 1 , а также a n = a n - 1: p n , где a n = 1 , шаг является завершающим, в итоге получаем, что a = p 1 · p 2 · … · p n .
Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.
Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.
Пример 2
Произвести разложение числа 78 на простые множители.
Решение
Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78 . То есть 78: 2 = 39 . Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p 1 . Получаем, что a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 . Пришли к равенству вида a = p 1 · a 1 , где 78 = 2 · 39 . Тогда a 1 = 39 , то есть следует перейти к следующему шагу.
Остановимся на нахождении простого делителя p 2 числа a 1 = 39 . Следует перебрать простые числа, то есть 39: 2 = 19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39: 3 = 13 . Значит, что p 2 = 3 является наименьшим простым делителем 39 по a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Получим равенство вида a = p 1 · p 2 · a 2 в виде 78 = 2 · 3 · 13 . Имеем, что a 2 = 13 не равно 1 , тогда следует переходит дальше.
Наименьший простой делитель числа a 2 = 13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3 . Получим, что 13: 3 = 4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5 , 7 , 11 , потому как 13: 5 = 2 (ост. 3), 13: 7 = 1 (ост. 6) и 13: 11 = 1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1 . Получили, что a 3 = 1 , что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .
Ответ: 78 = 2 · 3 · 13 .
Пример 3
Разложить число 83 006 на простые множители.
Решение
Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p 1 = 2 и a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503 , где 83 006 = 2 · 41 503 .
Второй шаг предполагает, что 2 , 3 и 5 не простые делители для числа a 1 = 41 503 , а 7 простой делитель, потому как 41 503: 7 = 5 929 . Получаем, что p 2 = 7 , a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929 . Очевидно, что 83 006 = 2 · 7 · 5 929 .
Нахождение наименьшего простого делителя p 4 к числу a 3 = 847 равняется 7 . Видно, что a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121 , поэтому 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121 .
Для нахождения простого делителя числа a 4 = 121 используем число 11 , то есть p 5 = 11 . Тогда получим выражение вида a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 , и 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .
Для числа a 5 = 11 число p 6 = 11 является наименьшим простым делителем. Отсюда a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1 . Тогда a 6 = 1 . Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .
Каноническая запись ответа примет вид 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 .
Ответ: 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 = 2 · 7 3 · 11 2 .
Пример 4
Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.
Решение
Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2 . Конец перебора приходится на число 937 . Тогда p 1 = 937 , a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 и 897 924 289 = 937 · 958 297 .
Второй шаг алгоритма заключается в переборе меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937 . Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a 1 = 958 297 . Отсюда получаем, что p 2 = 967 , то a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 и 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .
Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991 . Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991 < 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Отсюда видно, что p 3 = 991 и a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 . Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .
Ответ: 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .
Использование признаков делимости для разложения на простые множители
Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.
Пример 5
Если необходимо произвести разложение на множители 10 , то по таблице видно: 2 · 5 = 10 . Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10 .
Пример 6
Если необходимо произвести разложение числа 48 , то по таблице видно: 48 = 6 · 8 . Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6 = 2 · 3 и 8 = 2 · 4 . Тогда полное разложение отсюда получается как 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Каноническая запись примет вид 48 = 2 4 · 3 .
Пример 7
При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100 . Отсюда получаем, что 3 400 = 34 · 100 , где 100 можно разделить на 10 , то есть записать в виде 100 = 10 · 10 , а значит, что 3 400 = 34 · 10 · 10 . Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400 = 34 · 10 · 10 = 2 · 17 · 2 · 5 · 2 · 5 . Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17 .
Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5 . Получим, что 75 = 5 · 15 , причем 15 = 3 · 5 . То есть искомое разложение пример вид произведения 75 = 5 · 3 · 5 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.
Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.
Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.
1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.
Это же число можно разложить на простые множители иначе:
1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.
Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.
Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.
2) Разложить число 1620 на простые множители.
Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.
Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.
- Разложим на множители число 6552.
Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).
- В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой - 3276.
Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).
- В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой - 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой - 819.
Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.
- В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой - 273.
- При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.
Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).
- Продолжим вычисления в нашем примере:
- Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой - 91.
- Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой - 13.
- Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой - 1. Ваши вычисления закончены.
В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 2 4 , а не как 2*2*2*2.
- В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).
Что значит разложить на множители? Это значит найти числа, произведение которых равно исходному числу.
Чтобы понять, что значит разложить на множители, рассмотрим пример.
Пример разложения числа на множители
Разложить на множители число 8.
Число 8 можно представить в виде произведения 2 на 4:
Представление 8 в виде произведения 2 * 4 и значит разложение на множители.
Обратите внимание, что это не единственное разложение 8 на множители.
Ведь 4 разлагается на множители так:
Отсюда 8 можно представить:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
Проверяем наш ответ. Найдем, чему равно разложение на множители:
То есть получили исходное число, ответ верный.
Разложите на простые множители число 24
Как разложить на простые множители число 24?
Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.
Число 8 можно представить в виде произведения 3 на 8:
Здесь число 24 разложено на множители. Но в задании сказано "разложить на простые множители число 24", т.е. нужны именно простые множители. А в нашем разложении 3 является простым множителем, а 8 не является простым множителем.
(кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами . Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными ) числами . Простых чисел - бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.
Например , запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа — множителями или сомножителями . Первый множитель иногда называется «множимое ».
Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.
Разложение числа на множители (Факторизация).
Разложение на множители (факторизация) - перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
Т.е., простым языком, факторизация - это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.
Последовательность действий при разложении на простые множители:
1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.
